DEDICO:
Al
reconocido matemático de la UNELLEZ,
Dr.
Jesús Tapia, quien es un ejemplo de esta pedagogía crítica en Latinoamérica…
Recientemente
me interpelaba un estudiante de postgrado de la Universidad Fermín Toro,
Extensión Portuguesa, acerca de cómo generar una pedagogía crítica en la
enseñanza de las matemáticas (acá hago alusión a matemáticas, en plural o en
singular, denotando el mismo significado de “ciencia deductiva que estudia las
propiedades de los entes abstractos como números, figuras geométricas o
símbolos, y sus relaciones”, tal cual me lo permite el Diccionario de la Real
Academia Española), lo cual me motivó a esbozar algunas líneas interpretativas
entorno de esta inquietud de corte muy académico.
La
matemática, en expresión de Andler, Fagot-Largeault y Saint-Sernin, en cuanto
ciencia, tiene la misión de desarrollar y construir estructuras formales. Por
otra parte, puede muy bien afirmarse que la realidad ya tiene determinadas
estructuras. Por esto, no se sabe con seguridad cuáles de las estructuras
captadas por la mente son las que corresponden a la realidad en sí y cuáles son
debidas a nuestro pensamiento en su intento de configurar, estructurar e
informar esa realidad. La matemática funciona de acuerdo con reglas
convencionales preestablecidas e inflexibles, y si no, no sería tal. Estas
reglas siguen, básicamente, las leyes aditiva, conmutativa, asociativa y distributiva
aplicadas a los elementos con que trabaja.
Ahora
bien, los elementos que constituyen las estructuras dinámicas o sistemas no se
le pueden aplicar estas leyes sin desnaturalizarlos, no son elementos ni
partes, sino constituyentes de una entidad superior. Ya en la misma estructura
del átomo, por ejemplo, el álgebra cuántica no permite aplicar la ley
conmutativa de factores, es decir, que no es lo mismo a*b que b*a, lo cual
significa que el orden es importante, como no es lo mismo una parcela de
terreno de 10m de frente por 20 de fondo, que una de 20m de frente por 10 de
fondo. Esta situación aumenta insospechadamente en la medida en que ascendemos
a niveles superiores de organización y complejidad, como son las realidades
estudiadas por la química, la biología, la psicología, la sociología, la
economía y la cultura en general.
A
todas estas, el problema tiene un fondo ontológico; la física clásica, ante
varias causas que actúan simultáneamente, representa la resultante como una
suma vectorial, de modo que, en cierto sentido, cada causa produce su efecto
como si no actuara ninguna otra causa. Conviene precisar que la ciencia
clásica, al usar las ecuaciones matemáticas, aun cuando parezca que trata con
un sistema complejo de interacciones, sus resultados los debe exclusivamente al
empleo de relaciones de tipo unidireccional, es decir, lo que usa es solamente
el famoso principio de superposición de efectos.
En
un aspecto puntual, los procedimientos matemáticos siguen siendo fieles de las
cuatro leyes fundamentales de la matemática tradicional clásica, que se reducen
a la propiedad aditiva, pero lo sistémico no es aditivo, como tampoco es
conmutativo, asociativo o distributivo, ni sus elementos se pueden medir previa
o aisladamente del resto de todos los otros constituyentes.
Desde
una perspectiva general, se ha observado que la didáctica matemática (en la
teoría y praxis), no cuenta con estudios que la signifiquen desde la
perspectiva epistémica, siendo solamente los acercamientos teóricos una breve
explicación de procesos y estrategias, descuidando ir hacia el fondo del
problema que es la construcción de un aparato descriptivo y explicativo que
presente a la didáctica matemática como un cuerpo articulado y vinculado con
los saberes pedagógicos. Sobre todo, los saberes pedagógicos en el marco de la
perspectiva crítica de la sociedad que hace de la matemática un instrumento de
reflexión práctica y no simplemente un cálculo estandarizado y reduccionista.
Cuando
se hace referencia al episteme, es un término que viene del griego ἐπιστήμη, y
significa conocimiento o ciencia, clásicamente los pensadores griegos hacían un
distingo entre episteme y τέχνη (tekne) o técnica. La episteme significa
conocimiento en tanto creencia justificada como verdad, a diferencia del término
doxa que se refiere a la creencia común o mera opinión.
Al
mencionar el “episteme de la didáctica de las matemáticas”, se hace alusión el
conjunto de relaciones que pueden unir una época determinada, las prácticas
discursivas que originan ciertas figuras epistemológicas. La episteme de la
didáctica matemática no constituye un conocimiento ni una forma de
racionalidad, ni se orienta a construir un sistema de postulados y axiomas,
sino se propone recorrer un campo ilimitado de relaciones, recurrencias, continuidades
y discontinuidades.
La
episteme de la didáctica de las matemáticas no es una creación humana, es más
bien el lugar en el cual el docente queda instalado en un punto desde el cual
conoce y actúa de acuerdo con las reglas estructurales de la episteme
(inconscientemente). La episteme de la didáctica matemática hace su propia
historia porque es el episteme que hace posible el modelaje teórico y práctico
de la didáctica matemática.
La
matemática no nació como ciencia pura, sino como un intento de explicar la
realidad que el hombre tenía frente a sí; así fue como la fueron desarrollando
los babilonios y los egipcios, algunos hombres, al encontrar ciertas relaciones
precisas entre algunas variables físicas, se ilusionaron tanto con su poder
explicativo, que pensaron, como Galileo, que Dios había escrito el libro de la
Naturaleza en lenguaje matemático o, como Descartes, que había que crear una
matemática universal para someter todos los fenómenos sujetos a orden y medida
del universo (res extensa) a una descripción matemática, es decir, a una
matematización del universo, a una matematización de todo el saber.
En
un aspecto puntual, el problema de la utilidad o conveniencia de una mayor o
menor matematización del saber, ya sea su geometrización, aritmetización,
algebrización, entre otros, es de naturaleza gnoseológica. Abarca el conocer si
el modelo matemático capta mejor y expresa más adecuadamente la naturaleza y
complejidad de una determinada realidad, porque, en fin de cuentas, para eso es
la matemática. Este problema ha llevado a los estudiosos del mismo a formular y
defender, desde principios de siglo XX, tres posiciones básicas como
fundamentación de la matemática: el logicismo, el formalismo y el
intuicionismo. La tesis logicista, expuesta por Gottlob Frege en 1879, en su
obra “Begriffsschrift: escrito conceptual”, y estructurada después por Bertrand
Russell, en colaboración con “Whitehead” en su voluminosa obra “Principia
Matemática”, con que reconstruyen toda la matemática clásica a partir de la
lógica. La tesis sostiene que la matemática pura es una rama de la lógica, que
la naturaleza de la verdad matemática no tiene un referente empírico, sino que
trata exclusivamente de las relaciones entre los conceptos. Los logicista no
pretenden decir nada acerca de la relación con la realidad, con el mundo de la
experiencia; piensan que han hecho algo más que axiomatizar las matemáticas
existentes; creen haber derivado toda la matemática de la lógica pura, sin usar
ningún supuesto extralógico.
En
cuanto a la tesis formalista el matemático alemán David Hilbert y su escuela
desde principios del siglo XX, afirma la independencia de la matemática frente
a la lógica. Sostiene que la matemática pura es la ciencia de la estructura
formal de los símbolos, y arranca de la realidad concreta de los signos.
En
realidad la condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos es
que se dé algo a la representación, a saber: ciertos objetos concretos,
extralógicos, que estén presentes en la intuición en tanto que datos vividos de
forma inmediata y previa a toda actividad del pensamiento. En las matemáticas,
el objeto de nuestro examen son los signos concretos mismos; y su punto de
vista filosófico sólido se puede resumir recalcando que en el principio era el
signo.
Como
se ve, la solidez del pensamiento matemático y la validez de sus pretensiones
de verdad residen finalmente y solamente en la intuición del signo, intuición
que disfruta de una evidencia privilegiada. La matemática es una ciencia sin
presuposiciones, los objetos del pensamiento matemático son los símbolos
mismos, libres de contenido, es decir, los símbolos per se son la esencia de la
matemática.
Sin
embargo, esto no dispensa a la matemática de mantener el contacto con ciertas
intuiciones previas al signo y la formalización, y que ésta sólo puede ayudar a
clarificar; en efecto, el signo siempre es signo de algo, tiene un referente.
Puede ser que el signo sea natural, si la relación signo-referente está dictada
por la naturaleza como humo-fuego, gemido-dolor, o artificial, convencional, si
se debe a una convención social, histórica, no necesaria como, por ejemplo, los
signos del lenguaje.
En
cuanto a la tesis intuicionista, sostenida por el matemático y filósofo
holandés L.E. Brouwer y la escuela intuicionista de la década del sesenta del
siglo XX, es la que más subraya, como fundamentos de la matemática, la
intuición, la evidencia y la aprehensión o intelección inmediatas de la
cantidad pura. La única fuente de conocimiento matemático es la intuición
directa de la cantidad pura, prescindiendo de las cualidades y esencia de los
seres.
En
una palabra, los problemas matemáticos fundamentales no son más que principios
para la aplicación de las formas matemáticas a la realidad de la experiencia
supone imprimir estas formas sobre ella o introducirla en un molde conceptual
preestablecido. Pero estas formas son, como hemos dicho, de naturaleza ideal,
con lo que surge la pregunta de si toda matematización no tendrá que ser
considerada como una idealización de nuestra realidad empírica.
A
todas estas, desde el punto de vista pedagógico, la complejidad de los
problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones
extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática
no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto,
la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura
encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica
como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un
aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando
lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. La didáctica de las
matemáticas debe tender hacia la transdisciplinariedad lo que situaría a las
investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre
las múltiples disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin
olvidar a la propia Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar
en el conocimiento de los problemas planteados.
En
cuanto a la didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en
las cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha
entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una
visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el
restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía
en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de
investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes
niveles educativos.
Por
consiguiente, la filosofía de la matemática debería poder analizar las
condiciones de posibilidad del conocimiento matemático de acuerdo con los
enfoques dominantes en esferas como la ciencia natural. Pero, contrario a lo
que sucede con el conocimiento científico-natural, donde la realidad de los
fenómenos conocidos está dada, en matemática no hay consenso sobre cuál es la
realidad acerca de la cual se ocupa. Uno de los problemas fundamentales que
enfrenta hoy la filosofía de la matemática es, así, que para emprender una
discusión sobre la posibilidad del conocimiento matemático se debe disponer de
una ontología de la matemática, a fin de determinar qué es lo que se pretende
conocer en dicho dominio teórico. La investigación citada, fue un enfoque que
intentó satisfacer simultáneamente una adecuada explicación ontológica de la
matemática y una acotación plausible de sus dificultades epistemológicas bajo
el punto de vista de una matemática entendida como ciencia de estructuras
puramente formales.
En
cuanto al estilo didáctico de la matemática como actividad, citando ideas de
Courant y Robbins (2002), esta posee una característica fundamental: la
Matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que
aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes,
descubrir regularidades, relaciones y estructuras. Courant y Robbins,
distinguen dos formas de matematización, la matematización horizontal y la
matematización vertical. La matematización horizontal, no lleva del mundo real
al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de
problemas. En esta actividad son característicos los siguientes procesos:
IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales; ESQUEMATIZAR; FORMULAR y
VISUALIZAR un problema de varias maneras; DESCUBRIR relaciones y regularidades;
RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas; y TRANSFERIR un problema
real a uno matemático; TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático
conocido.
La
matematización vertical, consiste en el tratamiento específicamente matemático
de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes
procesos: REPRESENTAR una relación mediante una fórmula; UTILIZAR diferentes
modelos; REFINAR y AJUSTAR modelos; COMBINAR e INTEGRAR modelos; PROBAR
regularidades; FORMULAR un concepto matemático nuevo. Estos componentes de la
matematización pueden ayudar a caracterizar los diferentes estilos o enfoques
en la enseñanza de la matemática. Para el estructuralismo, la matemática es una
ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de
la misma.
El
estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la
geometría euclídea y en la concepción de la matemática como logro cognitivo
caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es
por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe
enseñar la matemática como un sistema bien estructurado, siendo además la
estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue y sigue
siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de
Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo
estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la
componente vertical. El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración
de la matemática como un conjunto de reglas. A los estudiantes se les enseña
las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos
previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al estudiante, más
aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y
procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso
restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi
absoluta de los dos tipos de matematización.
En
un sentido puntual, la filosofía mecanicista del hombre es como una
computadora, de tal forma que su actuación puede ser programada por medio de la
práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las operaciones aritméticas y
algebraicas (incluso geométricas) y la solución de problemas que se distinguen
por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo nivel
dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores, donde se sitúa al
hombre”. La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren
experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización
en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación
utilitaria inglesa.
En
un aspecto puntual, respondiendo a la inquietud de mi estudiante acerca de la
pedagogía crítica como elemento influente en la didáctica de las matemáticas
(entendiendo que una cosa es la pedagogía y otra la didáctica: pedagogía se
ocupa de la investigación de cuestiones globales de la educación; la didáctica
es el estudia el proceso de enseñanza aprendizaje a través de los métodos
prácticos), es prioritario comprender el contenido de saberes matemáticos desde
una pedagogía crítica, como propuesta de enseñanza que ayuda a los estudiantes
a no ser conformistas con la información recibida, invitándolos a cuestionar y
desafiar la dominación y las creencias y prácticas que la generan. En el caso
de las matemáticas es una teoría y práctica (praxis) en la que los estudiantes
alcanzan una conciencia del “uso de lo numérico-abstracto” para la generación
de nuevo conocimiento desde la praxis; es decir, saber darle uso a la actividad
aritmética para resolver problemas puntuales en la cotidianidad. Es una
pedagogía inmersa en la tradición del maestro que genera respuestas liberadoras
tanto a nivel individual como colectivo; apropiarse de esta pedagogía es lo que
se necesitaría para poder ahondar a profundidad en el pensamiento matemático
vinculado con el contexto en donde se está reflexionando y aprendiendo.
Si
bien desde las fórmulas no se puede estar inventando resultados, no es menos
cierto que desde el uso de esas fórmulas es necesario comenzar a indagar para
crear nuevas estructuras abstractas que nos permita pensar de una manera más
amplia y significativa, temas acerca de la realidad que mueve el espacio-tiempo
planetario.
Autor:
Ramón Eduardo Azócar
Fuente
del Artículo:
https://www.aporrea.org/educacion/a272318.html
No hay comentarios:
Publicar un comentario